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Darío Leonardo Conca nasceu em 11 de maio de 1983, em General Pacheco, Argentina. Iniciou sua carreira profissional no Tigre, clube de sua cidade natal, em 2002. Após duas temporadas de destaque, transferiu-se para o River Plate, onde conquistou o Campeonato Argentino em 2004.
Em 2007, Conca chegou ao Brasil para jogar pelo Fluminense. Com o clube carioca, conquistou o Campeonato Brasileiro em 2010 e a Copa do Brasil em 2007. Suas atuações excepcionais renderam-lhe o prêmio de Melhor Jogador do Campeonato Brasileiro em 2010.
Em 2011, Conca transferiu-se para o Vasco da Gama. No clube cruzmaltino, conquistou o Campeonato Carioca em 2011 e 2012. Apesar de seu talento inegável, sua passagem pelo Vasco foi marcada por lesões e polêmicas.
Em 2014, Conca retornou ao Fluminense. No entanto, sua segunda passagem pelo clube não foi tão bem-sucedida quanto a primeira. Após uma temporada sem brilho, deixou o clube em 2015.
Conca representou a Argentina em diversas categorias de base. No entanto, nunca foi convocado para a seleção principal.
Darío Conca era um meio-campista habilidoso e criativo. Conhecido por sua visão de jogo excepcional, passes precisos e chutes poderosos, era um jogador capaz de controlar o ritmo do jogo e criar oportunidades para seus companheiros.
Darío Conca é considerado um dos melhores meio-campistas argentinos de sua geração. Suas atuações no Fluminense e no Vasco da Gama deixaram uma marca indelével no futebol brasileiro. Apesar de sua carreira ter sido prejudicada por lesões e polêmicas, seu talento e habilidade permanecerão para sempre na memória dos torcedores.